Matematica strumentale e relazionale
- Matematica strumentale ("Regole senza ragioni") si concentra sull'apprendimento di formule, algoritmi e procedure per ottenere risultati rapidi. È un approccio mnemonico: "sapere come" fare, senza comprendere il "perché".
- Matematica relazionale ("Sapere il perché") mira a comprendere le connessioni tra i vari concetti, i processi che li generano e il senso delle azioni matematiche. È un approccio concettuale: "sapere come" e "perché".
Molti insegnanti, pur consapevoli del valore dell'approccio relazionale, tendono a privilegiare quello strumentale per diverse ragioni:
- pressioni esterne quali i programmi da completare, la necessità di "finire il programma" spinge a insegnare procedure rapide; le valutazioni standardizzate, i test spesso privilegiano l'esecuzione di algoritmi standard; le aspettative delle famiglie, i genitori che vedono nei "conti giusti" l'unico indicatore di apprendimento;
- illusione di sicurezza, poiché l'approccio strumentale sembra offrire risultati immediati e misurabili, incontra minor resistenza da parte degli studenti ("dimmi cosa devo fare"), la gestione della classe appare più semplice (esercizi standardizzati), ci sono minori richieste cognitive per l'insegnante.
Confronto
Caratteristica | Matematica strumentale | Matematica relazionale |
Focus | Formule, algoritmi, regole | Concetti, connessioni, senso |
Obiettivo | Risultati rapidi, esercizi svolti | Comprensione profonda, problem solving |
Apprendimento | Memoria, ripetizione | Ragionamento, argomentazione |
Flessibilità | Bassa (difficile in contesti nuovi) | Alta (adattabile a nuovi compiti) |
Atteggiamento | Può causare ansia e basso gradimento | Maggiore piacere e autoefficacia |
La divisione con due cifre al divisore
Approccio strumentale:
- Guarda quante volte il divisore sta nella prima cifra (o nelle prime due cifre) del dividendo
- Scrivi il risultato parziale
- Moltiplica e sottrai
- Abbassa la cifra successiva
- Ripeti
Lo studente esegue meccanicamente questi passaggi senza capire perché funziona. Se sbaglia un passaggio, non sa dove ha sbagliato né come correggersi.
Approccio relazionale:
- La divisione è una distribuzione: "Ho 856 caramelle da mettere in pacchetti da 24, quanti pacchetti posso fare?"
- Ragioniamo insieme: "24 × 10 = 240... troppo poco. 24 × 30 = 720... ci stiamo avvicinando"
- Costruiamo la comprensione che stiamo cercando quante volte il 24 sta nell'856
- Gli errori diventano occasioni di ragionamento: "Ho scritto 40, ma 24 × 40 = 960, che è più di 856. Cosa mi dice questo?"
Approccio strumentale: "Per trovare frazioni equivalenti, moltiplica o dividi numeratore e denominatore per lo stesso numero."
Lo studente applica la regola meccanicamente: 2/3 = 4/6 = 8/12. Ma non capisce perché queste frazioni rappresentano la stessa quantità .
Approccio relazionale:
- Partiamo dal concreto: pizze divise in spicchi, barre di cioccolato
- "Se divido una pizza in 3 parti e ne prendo 2, ho la stessa quantità di quando divido la stessa pizza in 6 parti e ne prendo 4?"
- Rappresentiamo visivamente e scopriamo il pattern
- La regola emerge dalla comprensione, non la precede
Gli studenti che comprendono le relazioni tra concetti le ricordano più a lungo e le applicano meglio.
sanno adattare le conoscenze a problemi nuovi e complessi, non solo agli esercizi visti in classe.
Promuovere una visione relazionale della matematica non è in contraddizione con l'insegnamento di algoritmi, purché sia data sempre agli studenti la possibilità di esplorare e capire "i perché" dietro a passaggi apparentemente oscuri.
La sfida didattica consiste nel non eliminare gli algoritmi (strumentale), ma insegnarli all'interno di un contesto relazionale che valorizzi attività come congetturare, dimostrare e definire, centrali nel pensiero matematico, dove gli studenti capiscono il senso delle procedure.
Non "Calcola 345 + 678" ma "La scuola ha 345 libri in biblioteca e ne arrivano altri 678. Quanti libri abbiamo ora?"
Il contesto:
- dà senso all'operazione
- permette di stimare (circa 1000)
- consente strategie diverse (addizionare le centinaia, poi le altre cifre...)
- rende l'errore rilevabile ("Ho trovato 123, ma non può essere giusto perché sappiamo che dovrebbe essere circa 1000")
Prima di mostrare l'algoritmo standard:
- "Come risolvereste questo problema?"
- Condividere diverse strategie
- Confrontare per efficienza e correttezza
- L'algoritmo viene presentato come una strategia tra le altre, particolarmente efficiente
Esempio per 47 × 3:
- Marco: "40 × 3 = 120, poi 7 × 3 = 21, quindi 120 + 21 = 141"
- Sofia: "50 × 3 = 150, tolgo 3 × 3 = 9, quindi 150 - 9 = 141"
- Luca: disegna 3 gruppi di 47 palline e conta
Tutte le strategie sono valide. Discutiamo quale è più veloce e perché.
Usare rappresentazioni multipleLo stesso concetto va rappresentato in modi diversi:
- Concreto (manipolativo)
- Iconico (disegni, schemi)
- Simbolico (numeri, operazioni)
Per la frazione 3/4:
- Concreto: 3 pezzi di una torta divisa in 4
- Iconico: rettangolo diviso in 4 parti con 3 colorate
- Simbolico: 3/4 = 0,75 = 75%
- Sulla linea dei numeri
Nell'approccio relazionale, l'errore non è una "pagella sporca" ma un'occasione di apprendimento:
- "23 + 48 = 611" → "Cosa ci dice questo risultato? Ha senso?"
- Analizzare l'errore: "Hai sommato 3 + 8 = 11 e hai scritto tutto. Cosa rappresenta quel 1 delle decine?"
- L'errore diventa visibile e discutibile
Non basta calcolare, bisogna argomentare:
- "Perché hai scelto quella strategia?"
- "Come spiegheresti questo procedimento a un compagno?"
- "La soluzione di Marco funziona sempre o solo in questo caso?"
Gli studenti con approccio strumentale sviluppano più facilmente ansia matematica: si sentono persi quando cambiano le richieste ("Ma quella regola io non la so!"), vivono la matematica come una serie di trucchi misteriosi da memorizzare, l'errore diventa fonte di vergogna anziché di apprendimento.
Gli studenti con approccio relazionale invece hanno strumenti per affrontare situazioni nuove, possono controllare la ragionevolezza dei propri risultati, vedono l'errore come parte del processo di pensiero
Autoefficacia e motivazioneL'autoefficacia (la convinzione di poter riuscire) è predittiva del successo in matematica più dell'intelligenza stessa.
L'approccio relazionale aumenta l'autoefficacia perché lo studente si sente "costruttore" della propria conoscenza, non dipende dalla memoria ma dal ragionamento e può verificare da solo se ha capito.
Memoria a lungo termineLa ricerca inoltre mostra che le procedure memorizzate senza comprensione si dimenticano rapidamente. La comprensione concettuale permette di ricostruire le procedure anche se dimenticate e dunque gli studenti con approccio relazionale mantengono le competenze più a lungo.
Insegnare in modo relazionale richiede più tempo e competenze:
bisogna avere il tempo necessario ad esplorare, congetturare, discutere: ciò richiede più tempo che mostrare una procedura e non sempre è possibile approfondire ogni concetto. Occorre allora scegliere dove investire tempo per la comprensione profonda.L'insegnante deve:
- Conoscere profondamente i concetti matematici
- Saper anticipare le difficoltà e le concezioni errate
- Gestire discussioni matematiche
- Valorizzare contributi diversi
- Mantenere il focus matematico
- Gestire l'incertezza
Nell'approccio relazionale infatti non tutte le lezioni vanno come previsto perché le domande degli studenti possono portare in direzioni inaspettate e dunque l'insegnante deve tollerare l'ambiguità .
Come bilanciare i due approcci: suggerimenti praticiLa sfida non è eliminare l'approccio strumentale ma bilanciarlo intelligentemente con quello relazionale:
Privilegiare il relazionale nei concetti chiaveNon tutto merita lo stesso investimento di tempo. Identificare i concetti fondanti:
- sistema posizionale
- operazioni e loro significati
- frazioni e numeri decimali
- area e perimetro
- proporzionalitÃ
Su questi, investire tempo per la comprensione profonda.
Automatizzare dopo aver compresoLe procedure automatiche sono utili quando la comprensione è stata costruita perché servono come "strumenti" per problemi più complessi e liberano risorse cognitive per ragionamenti più alti
Esempio: le tabelline
- Prima: costruire la comprensione della moltiplicazione (ripetizione dell'addizione, schieramenti, area)
- Poi: automatizzare per efficienza
- L'automatizzazione non sostituisce la comprensione ma la supporta
Anche quando si insegna un algoritmo spiegare perché funziona, mantenere il collegamento con il significato, permettere verifiche di ragionevolezza.
Usare problemi e contesti realiI problemi non sono "applicazione" finale ma contesto in cui la matematica emerge: il problema viene prima della procedure e la procedura risponde a un bisogno concreto, di conseguenza il risultato deve avere senso nel contesto.
Valorizzare diversi livelli di astrazionePermettere agli studenti di usare:
- materiali concreti quando ne hanno bisogno
- disegni e schemi come supporto
- procedure formali quando sono pronti
Non forzare l'astrazione prematura.
Verso una matematica per tuttiLa distinzione tra matematica strumentale e relazionale non è solo una questione didattica ma etica ed educativa: l'approccio relazionale democratizza la matematica, non è più riservata a chi "ha il dono" di memorizzare procedure ma diventa accessibile a chi sa ragionare, previene l'ansia matematica e il rifiuto della disciplina e prepara cittadini capaci di pensiero critico, non solo esecutori di procedure.
Come insegnanti, abbiamo la responsabilità di scegliere non il modo più veloce o rassicurante, ma quello che davvero serve ai nostri studenti per costruire una relazione positiva e competente con la matematica.
La sfida è complessa, ma il risultato vale l'impegno: studenti che non solo "sanno fare" ma capiscono, ragionano, argomentano e, soprattutto, non hanno paura della matematica.
- Skemp, R. R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics Teaching, 77, 20-26.
- P. Di Martino: Matematica strumentale vs matematica relazionale: il caso del principio d’induzione. L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 38, p. 29-52. (2018)
- Malara, N. A., & Navarra, G. (2003). ArAl Project: Arithmetic pathways towards favouring pre-algebraic thinking. Pitagora Editrice.
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