Geometria: arrivare alle formule in modo ragionato

Finalmente, dopo un lungo percorso dedicato ai prerequisiti per imparare a riconoscere basi, tracciare correttamente altezze, riconoscere diagonali, le classi sono pronte per esplorare le misure di superficie e le formule della geometria piana.

Il perimetro? Per scelta, non lo sovraccarico di spiegazioni: è un concetto che i bambini afferrano naturalmente, senza bisogno di memorizzare formule. Anzi, troppa struttura rischia solo di confonderli. 

Dove investo davvero tempo ed energie è sulle aree: lavoriamo insieme alla scoperta delle formule attraverso la manipolazione diretta delle forme. Carta, forbici, colla... ritagliamo, scomponiamo, ricomponiamo. Le formule nascono dalle loro mani.

Prerequisiti necessari i concetti di concetti di perpendicolarità, congruenza, equiestensione, misura, riconoscimento degli elementi di un poligono e conoscenza della relativa nomenclatura (lati, basi, altezze, diagonali)

Come ho proceduto

In una prima fase abbiamo utilizzato come unità di misura il quadretto che però non sempre si dimostra efficiente poiché esistono quadretti di varie dimensioni.
Questo ha fatto nascere la necessità di ricorrere alle unità di misure convenzionali ed in particolare a scoprire le misure di superficie.

Per comprenderle è stato necessario costruire il nostro campione, il metro quadrato, individuando nel decimetro quadrato la nostra unità di riferimento. Abbiamo scoperto quanti decimetri quadrati ci sarebbero serviti per formare un metro quadrato, riconoscendo nello schema uno schieramento e lo stesso ragionamento lo abbiamo applicato a multipli e sottomultipli. 

LABORATORIO metro quadrato artistico collaborativo (presto pronto!).

Il riconoscimento dello schieramento si è ripresentato quando è stato necessario scoprire come si poteva calcolare l'area di un rettangolo che avevamo preso in considerazione. Rettangolo e quadrato non sono altro che schieramenti di una moltiplicazione.
Non è stato difficile per i bambini individuare lo schieramento e da lì arrivare a scoprire che per calcolare l’area di un rettangolo basta moltiplicare fra loro le sue dimensioni.

Abbiamo verificato attraverso la costruzione di modelli di carta che la scoperta fosse valida per tutti i rettangoli

Quindi, ricorrendo alla nomenclatura relativa agli elementi di un poligono,

abbiamo tradotto la scoperta in una formula generale

A= b x h

Nella fase successiva abbiamo applicato lo stesso ragionamento al quadrato. Precisando però che in questo caso la base e l'altezza sono i lati congruenti di un quadrato.

A= l x l

Per il triangolo siamo partiti da un modello di carta di un rettangolo e la scoperta è passata dal ricavare due triangoli, che abbiamo verificato essere congruenti, dal rettangolo di partenza, mediante opportune operazioni di ritaglio e di ricomposizione.
I bambini hanno quindi suggerito di dividere in due parti l'area del rettangolo per scoprire l'area di ogni triangolo.
Ne abbiamo ricavato la formula generale, prima verificata con altri modelli per tutti i triangoli
A= (b x h) : 2

Ora siamo giunti al rombo che abbiamo inscritto sempre all'interno del nostro rettangolo di riferimento, ottenuto unendo i punti medi dei lati del rettangolo.
Ho chiesto quindi come potevamo questa volta ragionare per poter calcolare l'area di quel rombo.


Abbiamo tagliato i triangoli al di fuori del nostro rombo che sovrapposti al rombo inscritto sono risultati ricoprirlo tutto perfettamente, dunque formare un secondo rombo congruente al primo.
E di nuovo passare dalla scoperta ad una formula generale ai bambini è sembrato facile.


Questa volta però abbiamo fatto riferimento alla nomenclatura relativa al rombo e richiamato alla mente una scoperta precedente, ossia che le diagonali maggiore e minore del rombo sono congruenti alla base ed all'altezza del rettangolo di partenza.
Dunque invece di riferirci nella formula a base e altezza del rettangolo, dovevamo riferirci a diagonale maggiore e minore del rombo.
A= (D x d) : 2

Parallelogramma romboide

Partendo dal nostro abbiamo rettangolo tracciato il segmento che unisce un vertice del rettangolo con un punto della base, abbiamo traslato il triangolo ottenuto sul lato opposto del rettangolo ed ottenuto un parallelogramma romboide che ha conservato la stessa estensione del rettangolo di partenza.

Dunque la formula sarà la medesima:
A = b x h
 

Infine i trapezi

Affiancando due trapezi uguali formiamo un nuovo parallelogramma romboide, figura di cui conosciamo ormai la formula per calcolare la superficie. Dunque sarà sufficiente calcolare l'area del parallelogramma romboide e poi dividerla per due. 

Guidiamo le osservazioni dei bambini sulle relazioni esistenti tra la base del parallelogramma romboide e le basi del trapezio di partenza: i bambini arriveranno a notare come essa sia formata dalla base maggiore e dalla base minore 

B+b moltiplicando per l'altezza avremo l'area del parallelogramma romboide, dividendo tutto per 2 arriveremo a scoprire l'area del trapezio. Sintetizziamo tutto il ragionamento trasformandolo nella formula generale:

[(B+b) x h] : 2

Per finire vi propongo il

FORMULARIO UNIVERSAL DESIGN, di matematicaingioco di Valeria Razzini, un formulario accessibile, dove le formule sono scritte senza abbreviazioni matematiche e l’illustrazione riporta immediatamente all’attività svolta. Lo trovate >> QUI in pdf

Le varie tappe del percorso didattico documentate sul blog
https://classeacolori.blogspot.com/search/label/matematica?&max-results=7