27 Gennaio 2020 - giornata della memoria

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Finalisti Global Junior Challenge 2019 #gjc2019

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La divisione

La divisione

Per capire come funziona la tecnica "canadese" si consideri l’esempio:
Risultati immagini per divisione canadese
https://www.impariamoinsieme.com/

La tecnica canadese, pur essendo meno rapida, permette la comprensione del perché si eseguono certi calcoli e un collegamento con il significato di contenenza della divisione e (nei tentativi moltiplicativi) con il significato di partizione, ma anche un maggior controllo dei risultati, a differenza della tecnica standard in cui una valutazione errata di una cifra del quoziente conduce a un risultato errato (nel caso di sottostima è possibile recuperare al passaggio successivo  e continuare il calcolo senza commettere errori).
Risultati immagini per divisione canadese

Olimpiade dei giochi logici linguistici matematici

Olimpiade dei giochi logici linguistici matematici

Gioiamathesis

Associazione “Prof. M.Villanova”
Ente accreditato dal MIUR per la valorizzazione delle eccellenze

Bando della  XXX  Olimpiade Gioiamathesis 
Fascia 7 - 8 anni, classe terza

La moltiplicazione e il potenziamento delle abilità di calcolo

Immagine correlata

La moltiplicazione e il potenziamento delle abilità di calcolo

Laboratorio di didattica della matematica
Calcolo mentale-approssimato-strumentale
Gianfranco Arrigo

Dopo aver affrontato la memorizzazione delle tabelline, che comunque restano per alcuni bambini una difficoltà, procediamo con il concetto di moltiplicazione e sulla possibilità di scomporre l'operazione avvalendoci dell'addizione o della sottrazione:
7 × 2 = 7 + 7 = 14; 7 × 3 = (7 × 2) + 7 = 14 + 7 = 21
7 × 9 = (7 × 10) –7 = 70 – 7 = 63

Con l’introduzione della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto ad addizione e sottrazione.
13 × 8 = (10 + 3) × 8 = (10 × 8) + (3 × 8) = 80 + 24 = 104
possiamo affrontare anche la moltiplicazione a due cifre senza dover mettere in colonna.
Le parentesi sono superflue e con il  tempo verranno tralasciate.

Per acquisire maggiore abilità nel calcolo mentale, è bene memorizzare qualche quadrato e addizioni vincenti
11 × 11 = (10 + 1) × 11 = 10 × 11 + 1 × 11 = 110 + 11 = 121
12 × 12 = 144; 13 × 13 = 169; 15 × 15 = 225; 25 × 25 = 625
20 × 20; 30 × 30
la moltiplicazione con decine, centinaia e migliaia
×10  ×100  ×1000     ×20   ×200   ×200 ecc
ci aiuterà anche a comprendere il perchè del posizionare gli zeri nei prodotti parziali nel calcolo in colonna.

Sarà importanete affrontare le moltiplicazioni potenziando il senso del numero come ci spiega Jo Boaler in questo video.



2 × 5 = 10;
2 × 50 = 4 × 25 = 5 × 20 = 100;
2 × 500 = 4 × 250 = 8 × 125 = 5 × 200 = 25 × 40 = 1000

Sfruttando le proprietà associativa e commutativa
8 × 189 × 125 = (8 × 125) × 189 = 1000 × 189 = 189.000
16 × 37 × 125 = (8 × 2) × 37 × 125 = (8 × 125) × (2 × 37) = 1000 × 74 = 74’000

In altri casi come per esempio: 552 × 97 sarà necessario cambiare il registro semiotico e passare dall’algebrico allo schematico,
utilizzando una tabella
552 × 97 = 45’000 + (4500 + 3500) + (350 + 180) + 14 =
= (45’000 + 8000) + (530 + 14) = 53.544

Oppure con uno schema a frecce

Dal codice binario alle immagini, dalle immagini ai codici

Dal codice binario alle immagini, dalle immagini ai codici

Realizzazione delle immagini in griglia con ZaplyCode 

Gli alunni sulla base dell'esperienza svolta sul codice binario sulle dita (Il codice binario sulle dita), dopo aver giocato sulla piattaforma Code.org con "L'artista binario", ricavano il codice binario che genera le diverse immagini, convertono in base dieci i numeri binari e viceversa partono dai numeri in base 10 che corrispondono al codice binario che genera l'immagine.

Le linee ed il teorema dei quattro colori

Le linee ed il teorema dei quattro colori

Dopo aver classificato le linee in base a più criteri
linea aperta, non aperta; semplice, non semplice; curva, non curva;

rappresentiamo la classificazione utilizzando un diagramma ad albero e disegniamo la linea che corrisponde ad ogni cammino lungo il grafo.
http://matemattilandia.blogspot.com/p/prova.html
Questa attività ci ha posto di fronte al problema della linea non semplice aperta (curva o non curva) che intrecciandosi delimita una regione chiusa, intreccio o nodo; in questo caso la linea si considera aperta poiché il punto che consideriamo iniziale e quello finale non coincidono.




Successivamente è stato chiesto ai bambini di realizzare un quadro con linee curve e poi colorarlo utilizzando il minor numero di colori, non utilizzando lo stesso colore per le regioni confinanti (due regioni che si toccano solo per un punto non sono considerate confinanti).

Nella maggior parte dei casi i bambini hanno utilizzato 4 colori, solo Lorenzo D.L ha usato 3 colori.

Così abbiamo parlato del teorema matematico dei quattro colori.
(fonte http://utenti.quipo.it/base5/topologia/teor4col.htm)
Questa mappa è colorata correttamente perché le regioni A e B hanno in comune un solo punto.

In questa mappa c'è un errore di colorazione perché le regioni C e D confinano lungo una linea e quindi devono essere di colori diversi.



Quattro colori sono sufficienti per colorare qualsiasi mappa.

Come abbiamo potuto osservare dai nostri lavori, esistono mappe colorabili con 2 o 3 colori soltanto. Ma non esiste nessuna mappa piana che necessiti di più di quattro colori diversi.
Il problema dei quattro colori nacque nel 1852 quando Francis Guthrie, basandosi sull'esperienza dei cartografi, formulò la congettura che 4 colori fossero sufficienti per colorare qualsiasi mappa piana.
Il problema, a prima vista così semplice, si rivelò invece molto difficile e solo nel 1976 Kenneth Appel and Wolfgang Haken dell'Università dell'Illinois riuscirono a dimostrarlo con l'aiuto del computer.
Il teorema vale per le mappe disegnate sul piano.
Ci siamo soffermati anche sul lato artistico delle linee e sulla scrittura corsiva
Qui la proposta didattica https://classeacolori.blogspot.com/2019/10/le-linee.html

Le linee

Le linee

Tra geometria e immagine 
  • Riconoscimento e rappresentazione di una linea
  • Acquisizione della differenza tra linea retta e linea curva
  • Acquisizione della differenza tra linea chiusa e linea aperta
  • Acquisizione di un linguaggio specifico

Immagine correlata



Risultati immagini per linee curve

Un quadro con linee curve 
Albero e linea

PAESAGGI FATTI DI LINEE
fram7

Come stiamo lavorando con il calcolo

Immagine correlataCome stiamo lavorando con il calcolo

Il lavoro didattico intrapreso in questi tre anni si fonda su un patto tra insegnante e alunni:
  • non dobbiamo aver paura di sbagliare, gli errori non sono un problema
  • dobbiamo prestare attenzione a ciò che facciamo e usiamo al massimo il ragionamento
  • dobbiamo sempre cercare di spiegare come abbiamo ragionato
  • i calcoli semplici si eseguono usando la propria mente (calcolo ragionato mentale, scrittura matematica in riga)
  • utilizzare il più possibile il calcolo ragionato al posto di quello mnemonico (o calcolo in colonna)
  • l'impegno è più importante della velocità
  • non arrendersi mai
Il calcolo ragionato è fondamentalmente calcolo mentale che si avvale anche del supporto carta-penna; esso tocca il concettuale, lo strategico, il comunicativo, esso costituisce un’ottima introduzione all’apprendimento dell’algebra elementare.
La pratica del calcolo ragionato si basa sulla conoscenza ben fondata delle quattro operazioni dell’aritmetica, in particolare delle proprietà associativa, commutativa e distributiva. Gianfranco Arrigo
Il nostro percorso è iniziato lavorando molto sui complementari del cinque e del dieci (inizialmente soprattutto sulle dita) che permettono ai bambini di addizionare agevolmente e riconoscere il complementare di un numero per giungere alla sottrazione. (17 + … = 25, che può essere risolto per esempio pensando di partire da 17 per arrivare a 25 prima, poi, grazie alla scomposizione additiva, partire da 17 per arrivare prima a 20, e successivamente a 25 quindi +3+5 =8  17+8=25).
“La matematica per me è un po’ faticosa e un po’ facile, per fortuna c’è la maestra".
La scomposizione additiva di un numero naturale (conseguenza del contare per partizione) è infatti uno dei primi passi nell’apprendimento del sistema di numerazione e del calcolo mentale ed è applicabile sia all'addizione che alla sottrazione. Gianfranco Arrigo
Ho cercato anche di far acquisire loro una solida padronanza della struttura del numero.
Con attività mirate sul concetto di decina scaturito dai raggruppamenti e dallo schieramento delle quantità per riconoscere a colpo d'occhio senza contare, per lavorare sui complementari del 5, del 10, del 100.

Segnalibri riscrivibili per allenarsi a ripassare le tabelline

Segnalibri riscrivibili per allenarsi a ripassare le tabelline

Ripasso delle tabelline, al di là della mera ripetizione, si attivano ragionamenti inversi e più articolati.
Dati due elementi di una tabellina, capire da quegli elementi di quale tabellina si tratta e ricostruirla. Il tutto su supporto cancellabile per poter essere usato e riusato all'infinito.



Metodo dei rettangoli


Metodo dei rettangoli “aritmogeometria"

Vedere i prodotti come “rettangoli“ che possiamo comporre e scomporre, considerandone diverse parti o l’intero a seconda della manipolazione mentale che stiamo facendo.  La rappresentazione tramite rettangoli ha a che fare con la scomposizione del numero in due fattori e quindi con i divisori dei numeri che potremo sfruttare più avanti anche per la rappresentazione figurata della proprietà distributiva. Per ora lo abbiamo utilizzato per:
La tetraktys e i numeri speciali - I pitagorici e il kosmos armonico

NUMERI COME FIGURE
Numeri rettangolari e quadrati
Gli antichi matematici scoprirono che alcuni numeri potevano essere raffigurati in determinati modi quando rappresentati da semi o sassolini.
--------------------------------
Noi lo abbiamo osservato rappresentando la tabellina del sette.
Gli schieramenti della tabellina ci fornivano immagini di figure (rettangoli e un solo quadrato)
Così abbiamo cercato nelle altre tabelline e abbiamo scoperto che anche nelle altre c'erano numeri rettangolari e sempre un solo quadrato.
Scoperte:
Tutti i numeri sono rettangolari, ma non tutti possono essere rappresentati come quadrati
I numeri triangolari come il “tetraktys“ τετρακτύς della scuola pitagorica, che abbiamo scoperto durante la festa della matematica,  sono formati dalla somma dei primi numeri naturali a partire da 1
Ci sono numeri che possono essere sia triangoli che rettangoli, oppure sia triangoli che quadrati




https://classeacolori.blogspot.com/search/label/matematica

Video lezione a cura di Prof Baroz

Il doppio, il triplo e gli alberi!

Ritrovandomi spesso a lavorare insieme ai miei alunni sul doppio

ha destato non poco la mia attenzione l'articolo sul sito Il piccolo Friedrich di Cristina Sperlari che racconta l'attività didattica dedicata a L'albero del doppio
Mi è apparsa da subito attinenete al percorso sin qui svolto anche in relazione alla logica ed al pensiero computazionale

Sin dalla fine della classe prima abbiamo affrontato attività sul doppio, concretamente e graficamente.

Anche in classe seconda abbiamo ripreso il concetto di doppio: abbiamo riconosciuto i doppi prima affrontando la tabellina del due, analizzando i reciproci,


poi anche le attività sulla tabellina del quattro sono passate per il ragionamento sul doppio dei numeri. Abbiamo lavorato sul concetto di doppio concretamente con le quantità, attraverso la rappresentazione grafica e in ultimo con il calcolo, quindi abbiamo ricavato i risultati della tabellina del quattro a partire dalla tabellina del due.
https://classeacolori.blogspot.com/2019/01/tabellina-del-4.html

Leggendo poi la proposta didattica di Cristina Sperlari sul suo blog Il piccolo Friedrich
https://ilpiccolofriedrich.blogspot.com/2017/10/lalbero-del-doppio.html
ho pensato di proporre anche ai miei alunni la costruzione dell'albero del doppio e del triplo per il consolidamento dei concetti affrontati e favorire la memorizzazione ragionata delle operazioni aritmetiche.
Partendo da un tronco unitario, nell'albero del doppio la regola da seguire era di raddoppiare ogni ramo
nell'albero del triplo la regola era quella di triplicare ogni ramo

La tabellina del 9

La canzone della tabellina del 9



Arrivati a questo punto i bambini sanno perfettamente che per la proprietà commutativa della moltiplicazione, il prodotto non cambia se si inverte l'ordine di moltiplicando e moltiplicatore. Allora, sapendo già le altre tabelline, per esempio 7×9=63, si saprà in automatico che 9×7=63, e così per tutti gli altri prodotti.
Quindi le uniche due nuove moltiplicazioni da memorizzare saranno 9×9=81 e 9×10=90.
Però osservando attentamente la tabellina scopriamo alcune particolarità alcune delle quali possiamo usare come trucchi per la memorizzazione:
  • il primo e il secondo numero del risultato, se sommati tra di loro, fanno sempre 9
  • tutti i numeri di sinistra aumentano sempre di 1 (0, 1, 2, 3 ecc.), mentre i numeri di destra scendono sempre di 1 (9, 8, 7, 6 ecc.) 
  • si può ricalcolare la tabellina del 9 utilizzando la tabellina del 10
  • la tabellina del 9 è il triplo della tabellina del 3
  • parte della tabellina del tre si trova all’interno della tabellina del nove
  • la tabellina del 3 è la terza parte della tabellina del 9
DECANOMIO 
I prodotti vengono visualizzati geometricamente come aree di quadrati o rettangoli i cui lati sono rappresentati da tante unità quante sono quelle dei fattori del prodotto stesso: questo aiuta a sviluppare negli alunni la consapevolezza del calcolo.

Il decanomio evidenzia le proprietà della moltiplicazione in particolare la commutativa, attraverso la rappresentazione dei rettangoli equiestesi, in posizione simmetrica rispetto alla diagonale principale costituita dai quadrati.
Evidenzia inoltre proprietà numeriche (quadrati perfetti e non).
geogebra

Le regolarità
Addizionando successivamente i numeri dispari, si ottengono uno dopo l'altro tutti i numeri quadrati 1+3+5+7+...
Addizionando successivamente i numeri pari, si ottengono invece i numeri rettangolari
2+4+6+8+10... n(n+1)


Costruzione del mandala della tabellina del 9
Le unità della tabellina del nove: sono, nell’ordine: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 09,8,7,6,5,4,3,2,1,0 quindi quale mandala otterremo?


TRUCCHI PER IMPARARE LA TABELLINA DEL 9 



La tabellina dell'otto

La canzone della tabellina dell'8



Nella tabellina dell'otto i prodotti sono il doppio della tabellina del 4, e questo è subito evidente, ma sono anche il quadruplo di quella del 2. Osserviamo anche che i prodotti della tabellina del 4 sono la metà di quella dell'otto, i prodotti della tabellina del 2 sono la metà di quelli della tabellina del 4.
I risultati della prima parte della tabellina hanno le stesse unità della seconda parte
aumentano di una decina e diminuiscono di due unità
Costruzione del mandala della tabellina dell'otto
Il mandala della tabellina dell'otto è un pentagono regolare, la casetta come la chiamano i miei alunni, i quali notano anche che è la stessa figura ottenuta per la tabellina del due. Perché?
Tutti i prodotti della tabellina dell’otto sono pari come nella tabellina del due ed aumentano di due unità.
Risultati immagini per la tabellina dell'8

Numeri rettangolari e quadrati nella tabellina dell'otto
Numeri quadrati


Il percorso didattico sulla moltiplicazione sino a qui
https://classeacolori.blogspot.com/2019/01/percorso-sulla-moltiplicazione.html

La tabellina del 2 https://classeacolori.blogspot.com/2019/01/la-tabellina-del-due.html
La tabellina del 3 https://classeacolori.blogspot.com/2019/01/la-tabellina-del-3.html
La tabellina del 4 https://classeacolori.blogspot.com/2019/01/tabellina-del-4.html
La tabellina del 5 https://classeacolori.blogspot.com/2019/02/la-tabellina-del-5.html
La tabellina del 6 https://classeacolori.blogspot.com/2019/02/la-tabellina-del-sei.html

La moltiplicazione giapponese e araba 
12 x 13 = 156
Risultati immagini per Numeri rettangolari e quadrati nella tabellina dell'otto
araba
Risultati immagini per moltiplicazione araba
tabellina 8
E poi i giochi per divertirsi con le tabelline:

GIOCO delle tabelline ma anche delle operazioni scegli tu a cosa vuoi giocare e la difficoltà
Ripasso la tabellina del sette GIOCA (Scegli la tabelline dell'8)
Palle di neve GIOCA (Scegli la tabelline dell'8)
Rompi le uova GIOCA (Scegli la tabelline dell'8)
I pesciolini GIOCA (Scegli IL LIVELLO EASY E la tabelline dell'8)
Tabellina dell’1
Tabellina del 2
Tabellina del 3
Tabellina del 4
Tabellina del 5
Tabellina del 6
Tabellina del 7
Tabellina dell’8

La tabellina del sette

La tabellina del sette





Le attività sulla tabellina del sette

NUMERI COME FIGURE
Numeri rettangolari e quadrati
Gli antichi matematici scoprirono che alcuni numeri potevano essere raffigurati in determinati modi quando rappresentati da semi o sassolini.
--------------------------------
Noi lo abbiamo osservato rappresentando la tabellina del sette.
Gli schieramenti della tabellina ci fornivano immagini di figure (rettangoli e un solo quadrato)
Così abbiamo cercato nelle altre tabelline e abbiamo scoperto che anche nelle altre c'erano numeri rettangolari e sempre un solo quadrato.
Perché?
Perché una sola volta nella tabellina accade che lo schieramento ha lo stesso numero di palline in riga e in colonna (osservano i bambini)
Quindi 
numeri quadrati
Approfondimento
(Il piccolo Friedrich)
Attività numeri triangolari, quadrati, rettangolari, numeri linea (primi)
Laboratorio sui numeri Figurati Uniroma2

Costruzione del mandala della tabellina del sette
Il mandala della tabellina del sette risulta uguale a quello della tabellina del tre.
Perché?
Perchè i risultati delle moltiplicazioni danno dei numeri che hanno sempre delle unità diverse come accade nella tabellina del tre.

Il percorso didattico sulla moltiplicazione sino a qui


Puzzle delle tabelline 
Risultati immagini per mandala tabellina del sette

Crucitabellina
Risultati immagini per tabellina del sette
http://tuttodisegni.com/
E poi i giochi per divertirsi con le tabelline:
GIOCO delle tabelline ma anche delle operazioni scegli tu a cosa vuoi giocare e la difficoltà
Ripasso la tabellina del sette GIOCA (Scegli la tabelline del sette)
Palle di neve GIOCA (Scegli la tabelline del sette)
Rompi le uova GIOCA (Scegli la tabelline del sette)
I pesciolini GIOCA (Scegli IL LIVELLO EASY E la tabelline del sette)

Tabellina dell’1
Tabellina del 2
Tabellina del 3
Tabellina del 4
Tabellina del 5
Tabellina del 6
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