Divisione

« Un calcolo corretto si traduce in una uguaglianza vera»

Dizionario di matematica elementare di Stella BaruK

Nell’apprendimento della matematica si possono distinguere varie componenti che sono state evidenziate da Fandiño Pinilla (2005a) e che possono essere riferite anche alla divisione: 

• componente concettuale (noetica);
• componente algoritmica (es. saper eseguire divisioni composte di atti elementari);
• componente strategica (es. risoluzione di problemi);
• comunicativa (es. argomentazione, validazione, dimostrazione, …);
• relativa alla gestione di diversi registri semiotici.

Come sostiene Fandiño Pinilla (2005a): «Che le difficoltà in questi apprendimenti siano specifiche è sotto gli occhi di tutti: ci sono infatti persone che hanno costruito concetti, ma non sanno eseguire algoritmi; persone che eseguono algoritmi, ma non sanno che concetti ci sono alla base di tali esecuzioni; persone che hanno costruito concetti e sanno eseguire algoritmi, ma non sanno risolvere problemi; persone che hanno costruito concetti, sanno eseguire algoritmi, sanno risolvere i problemi, ma non sanno comunicare quel che hanno personalmente costruito, …». 

Nel calcolo ragionato le regole sono ridotte al minimo, le possibilità sono molte e c’è posto anche per altre. L’alunno entra, in modo armonioso, nel linguaggio algebrico (prime espressioni di calcolo in riga), il calcolo è esplicito, l’allievo procede seguendo un proprio ragionamento che esprime liberamente. 

L’apprendimento delle tecniche di calcolo si costruisce operando in situazioni diverse, confrontando i vari modi incontrati, valutandone comodità (facilità) e preferenze.

La divisione

Alcuni ricercatori affermano di non proporre nessun algoritmo di calcolo in colonna in quanto trattasi di meccanismi che limitano l’effettiva comprensione della matematica.

Altri sottolineano che è importante insegnare gli algoritmi per capire a fondo la matematica e appropriarsi di un sapere costruito nei secoli.

Se insegniamo gli algoritmi come una serie di passaggi da imparare a memoria ed eseguire in maniera corretta senza un controllo dei significati, il rischio che limitino l’effettiva comprensione della matematica è molto elevato.

Se invece manteniamo forti i significati di riferimento, oltre a rendere il calcolo più interessante, lo utilizzeremo come scuola di ragionamento rendendolo maggiormente inclusivo.

Il calcolo ragionato nella divisione aiuta gli alunni di terza primaria a comprendere il senso dell'operazione e a sviluppare strategie per risolverla senza fare affidamento esclusivo sul calcolo meccanico.

Divisione come ripartizione equa

Obiettivo: comprendere la divisione come distribuzione equa di oggetti.

Attività:

• Materiali: utilizzare oggetti concreti come caramelle, matite o blocchetti.
• Procedura: presentare situazioni pratiche, ad esempio: "Abbiamo 24 caramelle e 6 bambini. Quante caramelle riceve ciascun bambino?"
• Discussione: incoraggiare gli studenti a descrivere il processo di distribuzione e a verificare che ogni gruppo abbia lo stesso numero di oggetti.

Comprendere il significato della divisione

• Divisione come ripartizione: mostrare come dividere un insieme di oggetti in gruppi uguali (es. 24 caramelle in 6 sacchetti).
• Divisione come contenenza: far capire quante volte un numero sta in un altro (es. quanti gruppi da 6 possiamo formare all'interno della quantità 24?)

Strumenti visivi e manipolativi

• Schieramenti: utilizzare griglie per mostrare visivamente come i numeri si distribuiscono in gruppi. Utilizzare materiale didattico di vario genere per raggruppare e distribuire in modo pratico.

Successivamente è possibile passare dalla rappresentazione dello schieramento alla sua rappresentazione attraverso la tabellina corrispondente a quei raggruppamenti 

in questo caso 

7x1=7

7x2=14

7x3=21

7x4=28

• Problemi con contesto reale: es. "Devo distribuire 36 palline tra 4 bambini. Quante ne riceverà ciascuno?"
• Giochi e attività pratiche: usare materiali come cubetti o carte per fare divisioni concrete.
• Esplorazione del resto: affrontare situazioni con resto per comprendere divisioni non esatte (es. $23 \div 5$).

Strategie di calcolo ragionato

• Uso delle tabelline: recupero del risultato di semplici divisioni attraverso le tabelline. Collegare la divisione alla moltiplicazione. Esempio: per calcolare $24÷6$, cercare il numero che moltiplicato per 6 dà 24, utilizzando la tavola pitagorica.
La tavola pitagorica è una griglia che mostra il prodotto di due numeri. Gli studenti la utilizzano comunemente per memorizzare i risultati delle moltiplicazioni fino a 10×10, ma lo stesso schema può essere impiegato in modo inverso per assistere nelle operazioni di divisione

😉Tavola pitagorica interattiva



• Moltiplicazioni e divisioni operazioni inverse. Rafforzare la relazione inversa tra moltiplicazione e divisione, mostrare il collegamento tra moltiplicazione e divisione con esempi concreti. Esercizi: proporre moltiplicazioni e chiedere di trovare le divisioni associate.
• Scomposizione del dividendo: insegnare a scomporre il numero in parti più semplici. Esempio: $48 \div 6$ può diventare $(30 + 18) \div 6 = (30 \div 6) + (18 \div 6) = 5 + 3 = 8$.
• Divisione per approssimazione: utilizzare i multipli vicini per avvicinarsi al risultato. Esempio: per $73 \div 8$, pensa a  $8\times 9=72$, quindi il quoziente è 9 con resto 1.

Attività di riflessione e discussione

• Incoraggiare i bambini a spiegare il loro ragionamento ad alta voce.
• Confrontare strategie diverse per risolvere la stessa divisione.

Grazie alla condivisione di diverse strategie utilizzate dai vari alunni per effettuare un calcolo, e dalla valutazione dei punti di forza e di debolezza di ciascuna, che è possibile farle evolvere. 

La condivisione porta a una pluralità di strategie che possono anche coesistere per più tempo. 

In questa evoluzione risulta importante mostrare analogie e differenze tra tipologie di calcoli per riconoscerne elementi comuni e generalizzabili.

Divisione canadese cui si giunge attraverso il percorso sulla divisione. 

Come abbiamo detto in precedenza la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione, nel senso che, per esempio, da 6x7=42, seguono le due divisioni 42:6=7 e 42:7=6. 

È uno stimolo in più per rinfrancare la memorizzazione dei prodotti di base. 

Divisione oltre la tavola pitagorica

Se il dividendo supera il centinaio, si opera una scomposizione additiva in due addendi dei quali almeno uno dev’essere multiplo del divisore. 

Per esempio: 

112 : 8 = (80+32) : 8 = (80 : 8) +(32 : 8) = 10 + 4 = 14

115 : 8 = (80+32+3) : 8 = (80 : 8) + (32 : 8) + (3 : 8) = 10 + 4 + (3 : 8) = 14 + (3 : 8) o, se si preferisce, « = 14 resto 3».

Esecuzione con la catena di operatori

La DIVISIONE “CANADESE è un algoritmo che si usa per eseguire le divisioni. 

Funziona così: si osserva il divisore e si prova a stimare quante volte può essere contenuto nel dividendo, annotando i risultati di alcune moltiplicazioni semplici da eseguire (per esempio × 2, × 5, × 10, × 20 ecc.). 

Si procede quindi con delle sottrazioni progressive, e la somma dei quozienti parziali costituisce il risultato finale. Per eseguire con efficacia una divisione canadese è necessario possedere una buona capacità di stima.

Esempi di divisioni 

63 : 7 = 9 (dalle tabelline) 

91 : 7 = (70 + 21) : 7 = (70 : 7) +(21 : 7) = 10 + 3 = 13 

(scomposizione additiva con multipli del divisore) 

720 : 80 = 72 : 8 = 9 (uso semplice della proprietà invariantiva) 

132 : 33 = (132 : 3) : (33 : 3) = [(120 + 12) : 3] : 11 = 44 : 11 = 4

 (uso più raffinato della proprietà invariantiva)

👉Arrigo_calcolo_ragionato

Lo scopo è di sviluppare una competenza nell’affrontare e risolvere situazioni problema riconducibili alle quattro operazioni, fondata sul possesso di un bagaglio tecnico-algoritmico utile nella vita quotidiana che permetta di trovare delle soluzioni, di presentare e giustificare i procedimenti messi in atto, di giudicarne l’attendibilità, procedendo anche per tentativi nel caso di situazioni poco familiari.

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