Calcolo mentale e ragionato

Come stiamo lavorando con il calcolo

Il lavoro didattico intrapreso in questi anni si fonda su un patto tra insegnante e alunni:

• non dobbiamo aver paura di sbagliare, gli errori non sono un problema
• dobbiamo prestare attenzione a ciò che facciamo e usiamo al massimo il ragionamento
• dobbiamo sempre cercare di spiegare come abbiamo ragionato
• i calcoli semplici si eseguono usando la propria mente (calcolo ragionato mentale, scrittura matematica in riga)
• utilizzare il più possibile il calcolo ragionato al posto di quello mnemonico (o calcolo in colonna)
• l'impegno è più importante della velocità
• non arrendersi mai

Il calcolo ragionato è fondamentalmente calcolo mentale che si avvale anche del supporto carta-penna; esso tocca il concettuale, lo strategico, il comunicativo, esso costituisce un’ottima introduzione all’apprendimento dell’algebra elementare.
La pratica del calcolo ragionato si basa sulla conoscenza ben fondata delle quattro operazioni dell’aritmetica, in particolare delle proprietà associativa, commutativa e distributiva. Gianfranco Arrigo

Il nostro percorso è iniziato lavorando molto sui complementari del cinque e del dieci (inizialmente soprattutto sulle dita) che permettono ai bambini di addizionare agevolmente e riconoscere il complementare di un numero per giungere alla sottrazione. (17 + … = 25, che può essere risolto per esempio pensando di partire da 17 per arrivare a 25 prima, poi, grazie alla scomposizione additiva, partire da 17 per arrivare prima a 20, e successivamente a 25 quindi +3+5 =8 17+8=25).
“La matematica per me è un po’ faticosa e un po’ facile, per fortuna c’è la maestra" titolo del convegno "Lo sviluppo dell’intelligenza numerica e l’apprendimento della matematica" CENTRO TERRITORIALE PER L’INTEGRAZIONE DI FELTRE Prof.ssa DANIELA LUCANGELI, 

La scomposizione additiva di un numero naturale (conseguenza del contare per partizione) è infatti uno dei primi passi nell’apprendimento del sistema di numerazione e del calcolo mentale ed è applicabile sia all'addizione che alla sottrazione. Gianfranco Arrigo

Ho cercato anche di far acquisire loro una solida padronanza della struttura del numero.
Con attività mirate sul concetto di decina scaturito dai raggruppamenti e dallo schieramento delle quantità per riconoscere a colpo d'occhio senza contare, per lavorare sui complementari del 5, del 10, del 100.

Quindi abbiamo affrontato l'addizione in modo concettuale come unione di elementi e poi come operazione aritmetica, perché essa è l'operazione basilare, dalla quale si sviluppano tutte le altre.
I bambini sin dalla prima, giunti alla fase del contare da, hanno imparato subito a fare meno fatica iniziando dall'addendo maggiore procedendo nell'ordine desiderato (proprietà commutativa).
Conoscenza numerica e calcolo mentale

In seconda stiamo affrontando l'esecuzione di addizioni che comportano il passaggio della decina
7+8 = 7+(3+5) = (7+3)+5 = 10+5 = 15 sfruttando, senza nominarla, la proprietà associativa e ripreso i complementari del 5 e del 10: i bambini dopo qualche esperienza di calcolo con i numeri "più grandi" hanno colto con velocità la possibilità di estendere da subito l’ampliamento ai multipli di 10, 100, …
Se so che 3+2=5 Posso anche calcolare 30 + 20=50 300 + 200=500
1+9=10 10+90=100 100+900=1000

Osserveremo le regolarità all'interno della griglia dei 99 numeri per

• scoprire strategie per il calcolo mentale a partire da essa
• riflettendo sull'ordinamento, la successione delle decine, orientandosi sulla posizione all'interno della tabella dei primi 99 numeri
• scoprire ed esplicitare le relazioni fra i numeri di una qualsiasi riga (+1, -1) colonna (+ 10, - 10) PRIMA FASE; diagonali (+ 9, - 11) ( -9, +11) SECONDA FASE
• guidare i bambini a verbalizzare i propri pensieri e le proprie strategie, ad ascoltare gli altri, contribuendo così ad esaltare gli aspetti cognitivi ma anche quelli metacognitivi e metalinguistici.

La griglia dei primi 99 numeri

Il passaggio alla sottrazione da 17+....=24 a 24–17 =…. è stato delicato perché più difficoltoso per alcuni bambini in quanto richiede l’introduzione di un nuovo simbolo ma soprattutto il cambiamento di registro semiotico, dal registro additivo a quello sottrattivo.

Per eseguire una sottrazione si possono utilizzare due procedimenti:
23 – 17 = (23 – 10) – 7 = 13 – 7 = (13 – 3) – 4 = 10 – 4 = 6 oppure
calcolare le differenze parziali con tappe alle decine
da 17 a 20 +3 , da 20 a 23 +3 dunque 23-17=(3+3)=6 in questo modo unisco le differenze parziali

Quest'ultima è generalmente quella più utilizzata dai bambini che mostrano alcune difficoltà nel calcolo.

Ora siamo giunti a calcolare in riga addizioni ricorrendo alla scomposizione ed alla applicazione della proprietà associativa che ancora non conoscono ufficialmente ma che stanno praticando.

Successivamente lavoreremo anche con più di due addendi

Contemporaneamente consolidando e sfruttando la scomposizione in unità u, decine da, propongo calcoli con addendi scomposti e non, o tutti gli addendi scomposti, per tradurle in addizioni "più tradizionali"
3 da + 2 da =, 3 u + 2 da + 4 u + 5 da =
alcuni bambini riescono a calcolare direttamente a mente, altri necessitano di un passaggio di scrittura della traduzione
30+20=, 3+20+4+50=

Quando cominceremo a utilizzare le centinaia e la moltiplicazione, proseguiremo con la tecnica degli addendi vicini
102 + 105 + 96 + 110 + 95 = (100 × 5) + 2 + 5 – 4 + 10 – 5 =
= 500+8 = 508

L’addizione in colonna può (forse) rivelarsi più veloce, però col calcolo in riga si guadagna negli aspetti concettuale (imperniato sulla scomposizione polinomiale dei numeri) e strategico (scelta del percorso additivo); inoltre non vi è la difficoltà di ricordare i riporti.
L’abilità nell’eseguire calcoli mentali dev’essere continuamente sviluppata, così come l’abitudine a servirsi della scrittura matematica, almeno inizialmente o di fronte ad addizioni di una certa complessità. Gli alunni più abili nel calcolo giungono presto a eseguire determinate addizioni anche senza scrivere. Importante è che tutti, in un modo o in un altro, in casi semplici o più difficili, ci riescano. Gianfranco Arrigo

Affronteremo la moltiplicazione cercando di giungere alla memorizzazione delle tabelline come atto finale di un procedimento di costruzione basato sul concetto di moltiplicazione come addizione di addendi fra loro uguali; si passerà per un percorso di visualizzazione delle quantità in schieramenti che  osservati nella loro forma (rettangolari, quadrati) e nel loro ripresentarsi nelle diverse tabelline, cogliendo in questo modo anche la proprietà commutativa della moltiplicazione.

Metodo dei rettangoli
Il doppio, il triplo e gli alberi!

La tabellina del 2 https://classeacolori.blogspot.com/2019/01/la-tabellina-del-due.html
La tabellina del 3 https://classeacolori.blogspot.com/2019/01/la-tabellina-del-3.html
La tabellina del 4 https://classeacolori.blogspot.com/2019/01/tabellina-del-4.html
La tabellina del 5 https://classeacolori.blogspot.com/2019/02/la-tabellina-del-5.html
La tabellina del 6 https://classeacolori.blogspot.com/2019/02/la-tabellina-del-sei.html
La tabellina del 7 https://classeacolori.blogspot.com/2019/03/la-tabellina-del-sette.html

Percorso sulla moltiplicazione https://classeacolori.blogspot.com/2019/01/percorso-sulla-moltiplicazione.html

Materiali classe prima
Collana di fascicoli per il percorso didattico alla scoperta di numeri e fiabe

Bollettino dei docenti di matematica

a cura del Laboratorio di didattica della matematica
Calcolo mentale-approssimato-strumentale

Gianfranco Arrigo

Gli algoritmi arabici (i metodi del calcolo in colonna) – introdotti da noi da Leonardo Pisano, detto anche Fibonacci (~1180-~1250) – per il tramite del suo famoso Liber abaci, furono usati per circa sette secoli dalla maggior parte dell’umanità. Negli ambienti scientifici e lavorativi furono sostituiti, almeno in parte, dal calcolo logaritmico e dalle calcolatrici meccaniche, a partire dal XVII secolo. Scomparvero del tutto con l’avvento degli strumenti elettronici a basso costo, a cominciare dalle calcolatrici tascabili e dai personal computer, a partire dagli anni settanta del secolo scorso. Del tutto? No, si praticano ancora, in larga misura, nella scuola elementare
Le ragioni sono molteplici. Fra le più ci sembra di poter riconoscere: un certo scetticismo degli insegnanti di fronte alle innovazioni che la didattica propone, la poca propensione di taluni a modificare il proprio insegnamento, la pressione psicologica dei genitori che vorrebbero vedere insegnata ai loro figli la matematica che essi stessi hanno imparato e, non da ultimo, i programmi ufficiali che, salvo eccezioni, continuano a proporre questo modo di calcolare. Per contro, gli insegnanti che stanno applicando in classe il calcolo ragionato sono entusiasti e gli allievi operano con piacere e acquisiscono capacità sorprendenti. Possono benissimo fare a meno del calcolo in colonna. 

Sostituire l’insegnamento del calcolo in colonna con il calcolo ragionato significa tagliare un ramo ingombrante e inutile dell’insegnamento, di natura fondamentalmente algoritmico-mnemonica (la matematica soggiacente è in gran parte nascosta) e promuovere al suo posto un modo di calcolare cosciente e formativo: il calcolo mentale, la scrittura in riga – propedeutica all’apprendimento del calcolo generalizzato, o letterale – e l’impiego di schemi grafici che evidenziano l’aspetto concettuale

Il calcolo ragionato è fondamentalmente calcolo mentale che si avvale anche del supporto carta-penna. Il suo apprendimento si estende al di fuori dell’algoritmico, abbraccia in gran parte il concettuale, lo strategico, il comunicativo e tocca anche in modo significativo la gestione delle trasformazioni semiotiche (Fandiño Pinilla, 2008) 

La pratica del calcolo ragionato si basa sulla conoscenza ben fondata delle quattro operazioni dell’aritmetica, in particolare delle proprietà associativa, commutativa e distributiva. Si sviluppa soprattutto operando attività di analisi e di sintesi e si nutre continuamente con l’intuizione e l’invenzione. L’allievo impara subito che, di fronte a un calcolo anche semplice, gli conviene prima di tutto decidere come fare.

Documento
http://www.dm.unibo.it/rsddm/it/articoli/arrigo/BDM68-CalcoloFinale.pdf

Slide
http://www.comune.faenza.ra.it/content/download/2016771/18238547/file/Arrigo%201.pdf

Il tutto cercando di tenere sempre presente l'effetto catalizzatore dell'insegnante.

"Un insegnante deve avere un effetto di catalizzatore e non lasciare alla casualità, considerando non solo coloro che ce la farebbero comunque per conto loro, ma soprattutto a coloro che senza di noi non ce la farebbero.
Un sorriso fatto da una figura significativa di riferimento è un mediatore di alleanza straordinario ed è importantissimo per il cervello. L’altro risultato è l’effetto dell’incoraggiamento. Un incoraggiamento corregge più di 98 rimproveri. Ogni volta che diamo un voto negativo o diciamo alla persona che non capisce niente, stiamo andando in un vicolo cieco, che non consente la modifica per l’ottenimento del meglio, è il pericolo della colpa, dell’errore e del meccanismo punitivo che non ottiene modifica del cervello, ma produce persecuzione dell’io, che è un’altra dimensione dell’essere umano non è quella della scuola.
Non si cerca una scuola buonista, ma una scuola competente al meccanismo di aiuto che combatte l’errore in un’alleanza in cui come c’è scritto nel bellissimo volantino del convegno “La matematica per me è un po’ faticosa e un po’ facile, per fortuna c’è la maestra", in cui l’insegnante diventa un punto di riferimento e un aiuto per chi non ce la fa, non quello a cui devi nascondere la difficoltà".
LUCANGELI