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Come stiamo lavorando con il calcolo

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Il lavoro didattico intrapreso in questi tre anni si fonda su un patto tra insegnante e alunni:
  • non dobbiamo aver paura di sbagliare, gli errori non sono un problema
  • dobbiamo prestare attenzione a ciò che facciamo e usiamo al massimo il ragionamento
  • dobbiamo sempre cercare di spiegare come abbiamo ragionato
  • i calcoli semplici si eseguono usando la propria mente (calcolo ragionato mentale, scrittura matematica in riga)
  • utilizzare il più possibile il calcolo ragionato al posto di quello mnemonico (o calcolo in colonna)
  • l'impegno è più importante della velocità
  • non arrendersi mai
Il calcolo ragionato è fondamentalmente calcolo mentale che si avvale anche del supporto carta-penna; esso tocca il concettuale, lo strategico, il comunicativo, esso costituisce un’ottima introduzione all’apprendimento dell’algebra elementare.
La pratica del calcolo ragionato si basa sulla conoscenza ben fondata delle quattro operazioni dell’aritmetica, in particolare delle proprietà associativa, commutativa e distributiva. Gianfranco Arrigo
Il nostro percorso è iniziato lavorando molto sui complementari del cinque e del dieci (inizialmente soprattutto sulle dita) che permettono ai bambini di addizionare agevolmente e riconoscere il complementare di un numero per giungere alla sottrazione. (17 + … = 25, che può essere risolto per esempio pensando di partire da 17 per arrivare a 25 prima, poi, grazie alla scomposizione additiva, partire da 17 per arrivare prima a 20, e successivamente a 25 quindi +3+5 =8  17+8=25).
“La matematica per me è un po’ faticosa e un po’ facile, per fortuna c’è la maestra".
La scomposizione additiva di un numero naturale (conseguenza del contare per partizione) è infatti uno dei primi passi nell’apprendimento del sistema di numerazione e del calcolo mentale ed è applicabile sia all'addizione che alla sottrazione. Gianfranco Arrigo
Ho cercato anche di far acquisire loro una solida padronanza della struttura del numero.
Con attività mirate sul concetto di decina scaturito dai raggruppamenti e dallo schieramento delle quantità per riconoscere a colpo d'occhio senza contare, per lavorare sui complementari del 5, del 10, del 100.


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Quindi abbiamo affrontato l'addizione in modo concettuale come unione di elementi e poi come operazione aritmetica, perché essa è l'operazione basilare, dalla quale si sviluppano tutte le altre.
I bambini sin dalla prima, giunti alla fase del contare da, hanno imparato subito a fare meno fatica iniziando dall'addendo maggiore procedendo nell'ordine desiderato (proprietà commutativa).
Conoscenza numerica e calcolo mentale
Numbersearches! Choose a number, write it in the middle box. Kids search vertically, horizontally and diagonally to find addends that equal the number.:
In seconda abbiamo afforntato l'esecuzione di addizioni che comportano il passaggio della decina
7+8 = 7+(3+5) = (7+3)+5 = 10+5 = 15 sfruttando, senza nominarla, la proprietà associativa e ripreso i complementari del 5 e del 10: i bambini dopo qualche esperienza di calcolo con i numeri "più grandi" hanno colto con velocità la possibilità di estendere da subito l’ampliamento ai multipli di 10, 100, …
Se so che 3+2=5  Posso anche calcolare   30 + 20=50    300 + 200=500
1+9=10     10+90=100  100+900=1000

Abbiamo osservato le regolarità all'interno della griglia dei 100 numeri per
  • scoprire strategie per il calcolo mentale a partire da essa
  • riflettendo sull'ordinamento, la successione delle decine, orientandosi sulla posizione all'interno della tabella dei primi 99 numeri
  • scoprire ed esplicitare le relazioni fra i numeri di una qualsiasi riga (+1, -1) colonna (+ 10, - 10) PRIMA FASE; diagonali (+ 9, - 11) ( -9, +11) SECONDA FASE
  • guidare i bambini a verbalizzare i propri pensieri e le proprie strategie, ad ascoltare gli altri, contribuendo così ad esaltare gli aspetti cognitivi ma anche quelli metacognitivi e metalinguistici.
La griglia dei primi 99 numeri

Il passaggio alla sottrazione da 17+....=24  a 24–17 =…. è stato  delicato perché più difficoltoso per alcuni bambini in quanto richiede l’introduzione di un nuovo simbolo ma soprattutto il cambiamento di registro semiotico, dal registro additivo a quello sottrativo.
Per eseguire una sottrazione si possono utilizzare due procedimenti:
23 – 17 = (23 – 10) – 7 = 13 – 7 = (13 – 3) – 4 = 10 – 4 = 6 oppure
calcolare le differenze parziali con tappe alle decine
da 17 a 20  +3 , da 20 a 23 +3 dunque 23-17=(3+3)=6 in questo modo unisco le differenze parziali
Quest'ultima è generalmente quella più utilizzata dai bambini che mostrano alcune difficoltà nel calcolo.
hier jetzt noch einmal ein paar Blätter zur Addition   in drei Schritten,   für manche Kinder so einfach eine Hilfe...     euch einen schön...
Ora siamo giunti a calcolare in riga addizioni con numeri con le centinaia ricorrendo alla scomposizione ed alla applicazione della proprietà associativa che ancora non conoscono ufficialmente ma che stanno praticando.

328 + 457 = 300+20+8+400+50+7 = 700+70+15 = 785

Successivamente lavoreremo anche con più di due addendi
76+123+225 = 70+6+100+20+3+200+20+5 = 300+110+14 = 424

Contemporaneamente consolidando e sfruttando la scomposizione in unità u, decine da e centinaia h, propongo calcoli con addendi scomposti e non, o tutti gli addendi scomposti, per tradurle in addizioni "più tradizionali"
3 da + 2 da =,   3 h + 2 da + 4 h + 5 da =
alcuni bambini riescono a calcolare direttamente a mente, altri necessitano di un passaggio di scrittura della traduzione
30+20=,   300+20+400+50=

Proseguiremo con la tecnica degli addendi vicini
102 + 105 + 96 + 110 + 95 = (100 × 5) + 2 + 5 – 4 + 10 – 5 =
= 500+8 = 508

L’addizione in colonna può (forse) rivelarsi più veloce, però col calcolo in riga si guadagna negli aspetti concettuale (imperniato sulla scomposizione polinomiale dei numeri) e strategico (scelta del percorso additivo); inoltre non vi è la difficoltà di ricordare i riporti. 
L’abilità nell’eseguire calcoli mentali dev’essere continuamente sviluppata, così come l’abitudine a servirsi della scrittura matematica, almeno inizialmente o di fronte ad addizioni di una certa complessità. Gli alunni più abili nel calcolo giungono presto a eseguire determinate addizioni anche senza scrivere. Importante è che tutti, in un modo o in un altro, in casi semplici o più difficili, ci riescano. Gianfranco Arrigo

In seconda si è affrontata la moltiplicazione cercando di giungere alla memorizzazione delle tabelline come atto finale di un procedimento di costruzione basato sul concetto di moltiplicazione come addizione di addendi fra loro uguali; esso è passato per un percorso di visualizzazione delle quantità in schieramenti che sono stati osservati nella loro forma (rettangolari, quadrati) e nel loro ripresentarsi nelle diverse tabelline, cogliendo in questo modo anche la proprietà commutativa della moltiplicazione.
Metodo dei rettangoli
Il doppio, il triplo e gli alberi!

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